Estratégias para pensar em problemas de matemática

Esse texto é especialmente voltado para pessoas que estudam matemática em um nível mais profundo, como por exemplo alunos de graduação e pós-graduação em exatas, estudantes de olimpíadas de matemática ou pessoas que estudam para vestibulares especiais, tais como IME e ITA, ou curiosos que desejam saber como se pensar em problemas de matemática.

Muitas vezes nos deparamos com aqueles problemas do tipo: Weberson anda a uma velocidade de 5 metros por segundo e Hellen tem um poodle, calcule a temperatura média da superfície de Saturno no período de acasalamento dos suricatos. Fácil, né?

Mas o que podemos fazer com esses suricatos de saturno? Um pouquinho de paciência, perseverança e estratégia certamente vai te ajudar.

Então, como resolver problemas de matemática?

Estamos supondo aqui que você já estudou a teoria e agora está indo para os exercícios. Afinal, se você não entende nem o significado dos termos no enunciado, o único jeito provável de você conseguir resolver o exercício é se transformando em um macaco digitador imortal... Mas o Lema de Borel-Cantelli é tema pra outro post.

Suponha, então, que você se deparou com um problema, você olhou pra ele, ele olhou pra você... você tentou resolvê-lo e descobriu que o nome dele é Jéssica... O que fazer?

A seguir apresento algumas sugestões de como estruturar o pensamento de modo metódico, uma espécie de algoritmo para resolver problemas. É claro, que muitas vezes você irá conseguir alcançar o seu objetivo somente com criatividade e persistência, mas para aqueles dias em que a atividade de criar não está muito poderosa... Lá vai...

Estratégias para resolver problemas de matemática:

1. Deixe sua intuição trabalhar e vá até onde der:

Quando tiver uma ideia vá até o fim. Sua intuição irá te dizer: o caminho para resolver esse problema é fazer isso, isso e isso. Teste o que pensar, se der errado pense "Por que deu errado, o que modificar para dar certo?".

2. Com que definição, teorema ou demonstração isso se parece?

Ponha o que você sabe na mesa! Se você quer calcular uma esperança ou uma área, quais são as fórmulas que você tem para fazer isso? Se você quer mostrar que algo converge, quais são os teoremas de convergência que você sabe? Se você quer mostrar que o número é composto, que teoremas você tem que só vale para primos (e que se não vale pra esse número implica que ele não é primo)?

Se não vier nenhum teorema de imediato, vasculhe a sua memória em busca dos teoremas, exemplos, contra-exemplos e exercícios que você já sabe e evidencie tudo o que tiver relação com exercício.
Se não der certo...

3. Como posso forçar isso a ficar parecido com algo que eu já sei?

Às vezes a ideia é ótima e só requer que se modifique algum ponto. Talvez olhar para um máximo em vez de um mínimo, inverter as variáveis, multiplicar tudo por menos um ou somar e subtrair 1.
Tente modificar as informações de modo a forçá-las a serem o que você quer, e depois, é claro, veja como você pode chegar naquilo que pensou.

4. Como você pode desenhar o seu problema?

Alguns problemas nos oferecem intuição geométrica, sem necessariamente serem problemas de geometria. Problemas de Teoria da Medida e Análise no Rn, por exemplo, muitas vezes podem ser 'desenhados'.

5. Se o problema persistir você pode tentar fazer casos particulares:

Pegue uma função mais simples, olhe o caso n=3, restrinja a hipótese aos casos positivos, enfim, tente uma versão mais simples do seu problema. Reduzir a quantidade de coisas que podem dar problema, pode ajudar muito a pensar. É como o método científico: quebrar o problema em coisas mais simples. Muitas vezes, as ideias para resolver o problema é apenas um método um pouco mais intricado daquilo que você fez para os casos simples. Isso ocorre muito com problemas de indução e com problemas de Teoria da Medida (primeiro faz pra função indicadora, depois pra função simples e por convergência monótona vale pra positivas).

Se depois disso tudo não conseguirmos resolver o problema, quem poderá nos defender?

Palma, palma, não priemos cânico! Não é sempre que se consegue fazer todos os problemas sozinho.

Aprendizado às vezes se faz com trabalho duro e solitário, mas muitas vezes se faz com a discussão de ideias. Conversar com seus amigos, companheiros de curso, ou professores pode abrir a sua mente pra novos jeitos de pensar, não é apenas uma questão de resolver o problema é uma questão de desenvolver o pensamento.

Se você quiser mais ideias e estratégias para resolver problemas, ótimas referências são Problem Solving Strategies, Solving Problems Throught Problems, How to Solve It e o livro do Terence Tao

Abraço!